有限数学示例

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

解题步骤 1

将 $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 写为等式。

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ 。

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{x - 5} = y - 8$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $y - 8 = 2^{x - 5}$ 。

$y - 8 = 2^{x - 5}$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = 2^{x - 5} + 8$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ 是否为 $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ 。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

解题步骤 5.2.3

合并 $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\log_{2} (x - 8)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

解题步骤 5.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

解题步骤 5.2.5

合并 $x - 8 + 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2^{x - 5} + 8)$ 。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

解题步骤 5.3.3

合并 $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

解题步骤 5.3.3.2

将 $2^{x - 5}$ 和 $0$ 相加。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用对数规则把 $x - 5$ 移到指数外部。

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

解题步骤 5.3.4.2

$2$ 的对数底 $2$ 的值为 $1$ 。

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

解题步骤 5.3.4.3

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ 为 $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

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