有限数学示例

f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

解题步骤 1

将

f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 写为等式。

y = \log_{2} (x - 8) + 5

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

解题步骤 2

交换变量。

x = \log_{2} (y - 8) + 5

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

\log_{2} (y - 8) + 5 = x

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ 。

\log_{2} (y - 8) + 5 = x

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去

5

$5$ 。

\log_{2} (y - 8) = x - 5

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将

\log_{2} (y - 8) = x - 5

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$ 重写成指数形式。如果

x

$x$ 和

b

$b$ 是正实数且

b \neq 1

$b \neq 1$ ，则

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

b^{y} = x

$b^{y} = x$ 。

2^{x - 5} = y - 8

$2^{x - 5} = y - 8$

解题步骤 3.4

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为

y - 8 = 2^{x - 5}

$y - 8 = 2^{x - 5}$ 。

y - 8 = 2^{x - 5}

$y - 8 = 2^{x - 5}$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上

8

$8$ 。

y = 2^{x - 5} + 8

$y = 2^{x - 5} + 8$

y = 2^{x - 5} + 8

$y = 2^{x - 5} + 8$

y = 2^{x - 5} + 8

$y = 2^{x - 5} + 8$

解题步骤 4

使用

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ 替换

y

$y$ ，以得到最终答案。

f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

解题步骤 5

验证

f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ 是否为

f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

f

$f$ 的值代入

f^{- 1}

$f^{- 1}$ 来计算

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ 。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

解题步骤 5.2.3

合并

2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8

$2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

从

5

$5$ 中减去

5

$5$ 。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

解题步骤 5.2.3.2

将

\log_{2} (x - 8)

$\log_{2} (x - 8)$ 和

0

$0$ 相加。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

解题步骤 5.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

解题步骤 5.2.5

合并

x - 8 + 8

$x - 8 + 8$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1

将

- 8

$- 8$ 和

8

$8$ 相加。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

解题步骤 5.2.5.2

将

x

$x$ 和

0

$0$ 相加。

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

f^{- 1}

$f^{- 1}$ 的值代入

f

$f$ 来计算

f (2^{x - 5} + 8)

$f (2^{x - 5} + 8)$ 。

f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

解题步骤 5.3.3

合并

\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5

$\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从

8

$8$ 中减去

8

$8$ 。

f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

解题步骤 5.3.3.2

将

2^{x - 5}

$2^{x - 5}$ 和

0

$0$ 相加。

f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用对数规则把

x - 5

$x - 5$ 移到指数外部。

f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

解题步骤 5.3.4.2

2

$2$ 的对数底

2

$2$ 的值为

1

$1$ 。

f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

解题步骤 5.3.4.3

将

x - 5

$x - 5$ 乘以

1

$1$ 。

f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.5

合并

x - 5 + 5

$x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将

- 5

$- 5$ 和

5

$5$ 相加。

f (2^{x - 5} + 8) = x + 0

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将

x

$x$ 和

0

$0$ 相加。

f (2^{x - 5} + 8) = x

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

f (2^{x - 5} + 8) = x

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

f (2^{x - 5} + 8) = x

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

解题步骤 5.4

由于

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ 为

f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ 的反函数。

f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

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